Une récurrence d'ordre deux

Suites de nombres réels · Suites arithmético-géométriques et récurrences d'ordre 2 · niveau 2

Énoncé

Soit $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 5$ et $u_{n + 2} = 5 u_{n + 1} - 6 u_{n}$ . Donner l'expression de $u_{n}$ . Laquelle des deux racines domine ?

Corrigé

Équation caractéristique : $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ , de racines $x = 2$ et $x = 3$ (distinctes). Donc $u_{n} = α 2^{n} + β 3^{n}$ .

Les conditions initiales donnent

${α + β = 1 2 α + 3 β = 5 ⟺ β = 3, α = - 2,$

d'où

$u_{n} = - 2 \times 2^{n} + 3 \times 3^{n} = 3^{n + 1} - 2^{n + 1} .$

Vérification : $u_{0} = 3 - 2 = 1$ , $u_{1} = 9 - 4 = 5$ , $u_{2} = 27 - 8 = 19$ , et la récurrence donne bien $5 \times 5 - 6 \times 1 = 19$ .

C'est $3$ qui domine, car $3 > 2$ : en écrivant $u_{n} = 3^{n + 1} (1 - (\frac{2}{3})^{n + 1})$ , le facteur entre parenthèses tend vers $1$ , donc $u_{n} / 3^{n + 1} \to 1$ . La racine de plus grand module impose le comportement à l'infini ; l'autre ne pèse que sur les premiers termes.

Énoncé

Corrigé

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