Une somme de logarithmes

La transformation du terme. Pour $k\ge 1$, $$\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln \left(\frac{k+1}{k}\right)=\ln (k+1)-\ln k,$$ en utilisant $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$, licite car $k>0$ et $k+1>0$.

Le télescopage. En sommant de $k=1$ à $n$, chaque $\ln (k+1)$ produit par un terme est retranché par le terme suivant : $$u_n=\sum _{k=1}^n(\ln (k+1)-\ln k)=\ln (n+1)-\ln 1=\ln (n+1),$$ puisque $\ln 1=0$. On peut le vérifier sur les premiers rangs : $u_1=\ln 2$, $u_2=\ln 2+\ln \frac{3}{2}=\ln 3$, $u_3=\ln 3+\ln \frac{4}{3}=\ln 4$.

La limite. $n+1\to +\infty$ et $\ln$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$, donc par composition $$u_n⟶+\infty .$$ La suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.

La conclusion. Les termes ajoutés, $\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)$, tendent vers $\ln 1=0$ quand $k\to +\infty$ : ils deviennent aussi petits que l'on veut. Et pourtant leur somme n'est bornée par aucun réel.

Le fait que les termes tendent vers $0$ ne suffit donc jamais à faire converger une somme. C'est le piège le plus coûteux de tout le chapitre : la petitesse des termes ne dit rien tant qu'on ne l'a pas confrontée à leur nombre, qui croît lui aussi. Ici, $u_n=\ln (n+1)$ croît lentement — il faut plus de $22000$ termes pour dépasser $10$ — mais il croît sans borne.