Une somme géométrique : la boucle et la formule

Les deux fonctions.

def somme_boucle(q, n):
    s = 0.0
    t = 1.0                 # t vaut q**k au tour numero k
    for _ in range(n + 1):
        s = s + t
        t = t * q
    return s

def somme_formule(q, n):
    return (1 - q ** (n + 1)) / (1 - q)

La boucle tourne $n+1$ fois — autant que de termes, d'indices $0$ à $n$ — et fait une addition et une multiplication par tour. La formule, elle, ne demande qu'une puissance et une division.

La comparaison. Pour $q=0,1$ et $n=20$, les deux fonctions renvoient des valeurs qui diffèrent d'environ $10^{-16}$ selon la machine. La raison est que les nombres flottants ne représentent pas exactement $0,1$ : les vingt additions successives accumulent de minuscules erreurs d'arrondi, que la formule ne fait pas. Les deux résultats sont justes ; c'est l'égalité stricte entre eux qui ne l'est pas — on ne compare jamais deux flottants avec ==, mais on teste abs(a - b) < 1e-12.

Le cas $q=1$. La formule divise par $1-q=0$ : Python lève une ZeroDivisionError. C'est cohérent avec le cours, qui suppose $q\ne 1$.

La boucle, elle, renvoie $n+1$ — et c'est la bonne réponse, puisque ${\sum }_{k=0}^n{1}^k$ est une somme de $n+1$ termes égaux à $1$. Le programme le plus lent est ici le plus fiable : il n'a fait aucune hypothèse.