Une somme où l'indice apparaît en facteur

Le calcul de $(1-x)S_n$. On écrit les deux sommes et l'on décale l'indice de la seconde : $$x{S}_n=\sum _{k=1}^{n}k{x}^{k+1}=\sum _{j=2}^{n+1}(j-1)x^j$$ (changement d'indice $j=k+1$). En retranchant, les termes d'indice $2$ à $n$ se combinent avec le coefficient $k-(k-1)=1$ ; il reste en plus le terme d'indice $1$ de $S_n$ et le terme d'indice $n+1$ de $x{S}_n$ : $$(1-x)S_n=x+\sum _{j=2}^n{x}^j-n{x}^{n+1}=\sum _{j=1}^n{x}^j-n{x}^{n+1}.$$

La somme géométrique restante. Comme $x\ne 1$, ${\sum }_{j=1}^n{x}^j=x\frac{1-x^n}{1-x}$. D'où, en divisant par $1-x\ne 0$ : $$S_n=\frac{x\left(1-x^n\right)}{(1-x{)}^2}-\frac{n{x}^{n+1}}{1-x}.$$

La limite pour $|x|<1$. Deux termes à traiter.

• $x^n\to 0$, car $|x|<1$.
• $n{x}^{n+1}\to 0$ : c'est une croissance comparée du cours, la puissance $|x{|}^n$ l'emportant sur le facteur $n$.

Par opérations sur les limites, $$S_n⟶\frac{x}{(1-x{)}^2}.$$

Application. Pour $x=\frac{1}{2}$ : $\frac{1/2}{(1/2{)}^2}=\frac{1/2}{1/4}=2$. La somme $\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\cdots$ tend donc vers $2$.

Le point délicat est le second terme : sans la croissance comparée, on ne saurait rien de $n{x}^{n+1}$, dont les deux facteurs tirent en sens contraires.