mathématiques appliquées (ECG 1re année) · Chapitre 4 · Exercice d'entraînement

Une suite exacte que la machine fait exploser

Suites de nombres réels · Suites en Python · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ , $u_{1} = \frac{1}{3}$ et $u_{n + 2} = \frac{10}{3} u_{n + 1} - u_{n}$ . Montrer que $u_{n} = (\frac{1}{3})^{n}$ pour tout $n$ . Programmer ensuite la récurrence en Python et afficher les trente premiers termes : que constate-t-on, et pourquoi ?

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Élève

Pour montrer que $u_{n} = (\frac{1}{3})^{n}$ , j'ai commencé une récurrence simple, mais l'hérédité bloque : $u_{n + 2}$ dépend de deux termes, et mon hypothèse n'en concerne qu'un.

En effet, une hypothèse au seul rang $n$ ne suffit pas. Quelle forme de récurrence permet de supposer la formule vraie à deux rangs consécutifs, et quelle initialisation demande-t-elle ?

Élève

Une récurrence double : j'initialise avec $u_{0}$ et $u_{1}$ , puis je suppose la formule vraie aux rangs $n$ et $n + 1$ et je remplace les deux termes par des puissances de $\frac{1}{3}$ dans la relation.

Bien, mène ce calcul. Pour la partie Python, garde en tête la méthode générale des suites récurrentes linéaires d'ordre $2$ : quelles sont les racines de l'équation caractéristique ici, et quel effet aurait une infime erreur commise sur $u_{1}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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