Une suite exacte que la machine fait exploser

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 4 — Suites de nombres réels · Suites en Python

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ , $u_{1} = \frac{1}{3}$ et $u_{n + 2} = \frac{10}{3} u_{n + 1} - u_{n}$ . Montrer que $u_{n} = (\frac{1}{3})^{n}$ pour tout $n$ . Programmer ensuite la récurrence en Python et afficher les trente premiers termes : que constate-t-on, et pourquoi ?

Corrigé

L'expression exacte. L'équation caractéristique est $3 r^{2} - 10 r + 3 = 0$ , de racines $r_{1} = 3$ et $r_{2} = \frac{1}{3}$ . Il existe donc $A$ et $B$ tels que $u_{n} = A 3^{n} + B (\frac{1}{3})^{n}$ ; les conditions initiales donnent $A + B = 1$ et $9 A + B = 1$ , d'où $A = 0$ , $B = 1$ et $u_{n} = (\frac{1}{3})^{n} pour tout n \in N .$

Le programme.

def suite(N):
    u, v = 1.0, 1.0 / 3.0          # u = u_n, v = u_{n+1}
    for n in range(N):
        print(n, u)
        u, v = v, (10.0 / 3.0) * v - u

Ce qu'on constate. Les premiers termes sont conformes. Puis, vers $n = 15$ à $20$ , les valeurs deviennent négatives et croissent comme $3^{n}$ : à $n = 30$ , la machine affiche des milliers, là où $u_{30} = 5 \times 1 0^{- 15}$ .

Pourquoi. Le nombre $\frac{1}{3}$ n'a pas d'écriture exacte en base deux : la machine part de $u_{1} = \frac{1}{3} + ε$ avec $∣ ε ∣ \approx 1 0^{- 17}$ . Cette erreur donne un coefficient $A$ de l'ordre de $ε$ , donc un terme parasite $ε 3^{n}$ , multiplié par $3$ à chaque étape pendant que le terme voulu est divisé par $3$ . Les deux s'égalent lorsque $3^{2 n} \approx 1 0^{17}$ , soit $n \approx 18$ .

La leçon. Le programme est juste, la récurrence est juste, et le résultat est faux : une racine de module $> 1$ amplifie toute erreur. Ici, on calcule directement (1/3) ** n.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.