Une suite géométrique et la somme de ses termes

Le terme général. Une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ vérifie $u_n=u_0{q}^n$, donc $$u_n=3{\left(\frac{1}{2}\right)}^n.$$

Sa limite. $\left|\frac{1}{2}\right|<1$, donc ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$ et $u_n\to 0$. La suite décroît vers $0$ : $3$ ; $1,5$ ; $0,75$ ; $0,375$…

La somme. La raison est différente de $1$, donc $$\sum _{k=0}^n{u}_k=3\sum _{k=0}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^k=3\times \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=6\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\right).$$

Contrôle. Pour $n=2$, la formule donne $6\left(1-\frac{1}{8}\right)=\frac{42}{8}=5,25$, et l'addition directe $3+1,5+0,75=5,25$ : les deux coïncident.

La limite de la somme. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\to 0$, donc $$\sum _{k=0}^n{u}_k⟶6.$$ La somme des termes reste bornée alors qu'on en ajoute indéfiniment : c'est le propre d'une suite géométrique de raison de valeur absolue $<1$. On remarquera que $6=\frac{u_0}{1-q}=\frac{3}{1/2}$.