Une suite géométrique et la somme de ses termes

Suites de nombres réels · Suites usuelles et sommes · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 3$ et de raison $\frac{1}{2}$ . Donner $u_{n}$ , sa limite, puis $k = 0 \sum n u_{k}$ et la limite de cette somme.

Corrigé

Le terme général. Une suite géométrique de premier terme $u_{0}$ et de raison $q$ vérifie $u_{n} = u_{0} q^{n}$ , donc $u_{n} = 3 (\frac{1}{2})^{n} .$

Sa limite. $\frac{1}{2} < 1$ , donc $(\frac{1}{2})^{n} \to 0$ et $u_{n} \to 0$ . La suite décroît vers $0$ : $3$ ; $1, 5$ ; $0, 75$ ; $0, 375$ …

La somme. La raison est différente de $1$ , donc $k = 0 \sum n u_{k} = 3 k = 0 \sum n (\frac{1}{2})^{k} = 3 \times \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}} = 6 (1 - (\frac{1}{2})^{n + 1}) .$

Contrôle. Pour $n = 2$ , la formule donne $6 (1 - \frac{1}{8}) = \frac{42}{8} = 5, 25$ , et l'addition directe $3 + 1, 5 + 0, 75 = 5, 25$ : les deux coïncident.

La limite de la somme. $(\frac{1}{2})^{n + 1} \to 0$ , donc $k = 0 \sum n u_{k} ⟶ 6.$ La somme des termes reste bornée alors qu'on en ajoute indéfiniment : c'est le propre d'une suite géométrique de raison de valeur absolue $< 1$ . On remarquera que $6 = \frac{u _{0}}{1 - q} = \frac{3}{1/2}$ .

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