Balayer un intervalle pour localiser les racines

Le programme.

def balayage(f, a, b, n):
    pas = (b - a) / n
    morceaux = []
    x = a
    for _ in range(n):
        if f(x) * f(x + pas) <= 0:
            morceaux.append((x, x + pas))
        x = x + pas
    return morceaux

def f(x):
    return x ** 3 - 3 * x + 1

print(balayage(f, -3, 3, 60))

Le test f(x) * f(x + pas) <= 0 détecte un produit négatif ou nul, c'est-à-dire deux valeurs de signes contraires — ou une valeur nulle, qui est déjà une racine.

Le résultat. Le pas vaut $0,1$ et le programme renvoie trois morceaux, autour de $-1,9$, de $0,3$ et de $1,5$. Contrôle : $f(-1,9)=-0,159$ et $f(-1,8)=0,568$.

Ce qu'un changement de signe garantit. Si f est continue sur le morceau et que ses valeurs aux extrémités sont de signes contraires, le théorème des valeurs intermédiaires assure au moins une racine à l'intérieur. Tout repose sur la continuité : sur $x\mapsto \frac{1}{x}$, le balayage de $[-1,1]$ signalerait un changement de signe sans racine.

Ce que l'absence de changement de signe ne garantit pas. Elle ne prouve pas l'absence de racine : une racine double ne fait pas changer le signe — sur $x\mapsto (x-1{)}^2$ le balayage ne signale rien — et deux racines peuvent tomber dans le même morceau, le produit des valeurs aux extrémités restant positif. Un balayage localise des racines ; il n'en dénombre aucune.