Continue et injective, donc monotone

Première étape : encadrer $f(x)$ pour $x$ intérieur. Soit $x\in ]a,b[$. Montrons $f(a)<f(x)<f(b)$.

Supposons $f(x)>f(b)$. Alors $f(b)$ est compris entre $f(a)$ et $f(x)$, puisque $f(a)<f(b)<f(x)$. Le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à $f$ continue sur $[a,x]$, fournit un $c\in [a,x]$ tel que $f(c)=f(b)$. Or $c\le x<b$, donc $c\ne b$ : deux points distincts ont la même image, ce qui contredit l'injectivité. Donc $f(x)\le f(b)$, et l'injectivité interdit l'égalité : $f(x)<f(b)$.

Le même raisonnement écarte $f(x)<f(a)$ : $f(a)$ serait alors compris entre $f(x)$ et $f(b)$, et le théorème des valeurs intermédiaires sur $[x,b]$ donnerait un $c\in [x,b]$, donc $c\ge x>a$, avec $f(c)=f(a)$ — encore une contradiction. Donc $f(a)<f(x)$.

Deuxième étape : la croissance. Soient $a\le x<y\le b$. La première étape appliquée à $y$ donne $f(a)<f(y)$ lorsque $y<b$, et c'est l'hypothèse lorsque $y=b$ : dans tous les cas $f(a)<f(y)$.

On peut donc refaire la première étape sur le segment $[a,y]$, où $f$ est continue, injective, et vérifie $f(a)<f(y)$ : pour tout $x\in ]a,y[$, on obtient $f(a)<f(x)<f(y)$. Si $x=a$, $f(x)=f(a)<f(y)$ directement.

Dans les deux cas $f(x)<f(y)$ : $f$ est strictement croissante.

Le point à retenir. Le théorème des valeurs intermédiaires ne sert pas qu'à trouver des solutions : il sert aussi à en fabriquer une de trop, et c'est l'injectivité qui la refuse.