De la moyenne des nombres à la moyenne des logarithmes

La première inégalité. Les réels $a$ et $b$ étant positifs, leurs racines carrées existent. Partons du carré, qui est toujours positif : $${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0.$$ En développant, $a-2\sqrt{a}\sqrt{b}+b\ge 0$, c'est-à-dire $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ puisque $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ pour $a,b\ge 0$. En divisant par $2>0$ : $$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}.$$

Le cas d'égalité. Il a lieu exactement lorsque ${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2=0$, c'est-à-dire $\sqrt{a}=\sqrt{b}$, donc $a=b$ (la fonction racine est injective sur $[0,+\infty [$). L'égalité caractérise donc les couples de réels égaux.

Le passage au logarithme. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$ : elle conserve les inégalités larges. Les deux membres de l'inégalité précédente étant strictement positifs, on peut leur appliquer $\ln$ : $$\ln \sqrt{ab}\le \ln \left(\frac{a+b}{2}\right).$$ Or $$\ln \sqrt{ab}=\ln \left((ab{)}^{1/2}\right)=\frac{1}{2}\ln (ab)=\frac{\ln a+\ln b}{2},$$ en utilisant $\ln (u^{\alpha })=\alpha \ln u$ puis $\ln (uv)=\ln u+\ln v$, licites car $a>0$ et $b>0$. D'où l'inégalité annoncée.

Le point délicat est la justification du passage au logarithme : c'est la stricte croissance, et non une propriété algébrique, qui autorise à appliquer $\ln$ aux deux membres d'une inégalité.