mathématiques appliquées (ECG 1re année) · Chapitre 5 · Exercice d'entraînement

De la moyenne des nombres à la moyenne des logarithmes

Fonctions réelles d'une variable réelle · Fonctions usuelles et inégalités · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Montrer que $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$, et préciser le cas d'égalité. En déduire que $$\frac{\ln a+\ln b}{2}\le \ln \left(\frac{a+b}{2}\right).$$

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.