Degré d'un produit, degré d'une somme

Le produit donné. Le degré d'un produit est la somme des degrés : $2+3=5$. Le coefficient dominant est le produit des coefficients dominants : $1\times 1=1$.

On peut le vérifier en développant : $$(x^2+1)(x^3-2x)=x^5-2x^3+x^3-2x=x^5-x^3-2x.$$ Le terme de plus haut degré est bien $x^5$.

Le cas général. Le produit d'un polynôme de degré $3$ par un polynôme de degré $4$ est de degré $3+4=7$. La raison tient en une ligne : si les termes dominants sont $\alpha x^3$ et $\beta x^4$ avec $\alpha \ne 0$ et $\beta \ne 0$, leur produit $\alpha \beta x^7$ est non nul, et aucun autre terme du développement n'atteint le degré $7$.

La somme : non, et c'est très différent. Le degré d'une somme est au plus le maximum des deux degrés, et il peut être strictement plus petit. Par exemple, $P(x)=x^3+x$ et $Q(x)=-x^3+1$ sont tous deux de degré $3$, mais $$P(x)+Q(x)=x+1$$ est de degré $1$ : les termes dominants se sont annulés.

La règle à retenir. $$\mathrm{deg}(PQ)=\mathrm{deg}P+\mathrm{deg}Q,\mathrm{deg}(P+Q)\le \max (\mathrm{deg}P,\mathrm{deg}Q),$$ avec égalité dans le second cas dès que les deux degrés sont différents.