Deux distances, une équation

L'équation, par disjonction des cas. Les deux valeurs absolues changent d'expression en $x=1$ et $x=-2$. On découpe $\mathbb{R}$ en trois.

Cas $x<-2$. Alors $x-1<0$ et $x+2<0$, donc $|x-1|=1-x$ et $|x+2|=-x-2$. L'équation devient $-2x-1=5$, soit $x=-3$. Cette valeur vérifie bien $x<-2$ : elle est solution.

Cas $-2\le x<1$. Alors $|x-1|=1-x$ et $|x+2|=x+2$. L'équation devient $1-x+x+2=3$, soit $3=5$ : aucune solution dans cet intervalle.

Cas $x\ge 1$. Alors $|x-1|=x-1$ et $|x+2|=x+2$. L'équation devient $2x+1=5$, soit $x=2$, qui vérifie $x\ge 1$ : elle est solution.

L'ensemble des solutions est $\{-3,2\}$.

L'inégalité. Partons de l'inégalité triangulaire $|u+v|\le |u|+|v|$. En posant $u=a-b$ et $v=b$, il vient $u+v=a$, donc $$|a|\le |a-b|+|b|,\text{soit}|a|-|b|\le |a-b|.$$ En échangeant les rôles de $a$ et $b$ : $|b|-|a|\le |b-a|=|a-b|$, donc $-(|a|-|b|)\le |a-b|$.

Le nombre $|a|-|b|$ et son opposé sont ainsi tous deux majorés par $|a-b|$ ; or la valeur absolue d'un réel est le plus grand des deux. D'où $$||a|-|b||\le |a-b|.$$

Contrôle. Avec $a=-5$ et $b=3$ : le membre de gauche vaut $|5-3|=2$, celui de droite $|-8|=8$. L'inégalité est large, et elle peut être stricte.