Deux points distants d'un demi

Posons $g(x)=f\left(x+\frac{1}{2}\right)-f(x)$ pour $x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$. La fonction $g$ y est bien définie (car $x+\frac{1}{2}\in \left[\frac{1}{2},1\right]\subset [0,1]$) et continue, comme différence de fonctions continues.

Évaluons aux bornes :

$$g(0)=f\left(\frac{1}{2}\right)-f(0),g\left(\frac{1}{2}\right)=f(1)-f\left(\frac{1}{2}\right)=f(0)-f\left(\frac{1}{2}\right)=-g(0),$$

la dernière égalité utilisant l'hypothèse $f(1)=f(0)$.

Deux cas. Si $g(0)=0$, alors $c=0$ convient. Sinon $g(0)$ et $g\left(\frac{1}{2}\right)$ sont de signes opposés ; $g$ étant continue sur $\left[0,\frac{1}{2}\right]$, le théorème des valeurs intermédiaires fournit un $c$ dans cet intervalle tel que $g(c)=0$, c'est-à-dire

$$f(c)=f\left(c+\frac{1}{2}\right).$$

L'astuce est de ne pas chercher $c$ mais de fabriquer une fonction dont il est un zéro — et de faire porter l'hypothèse $f(0)=f(1)$ sur l'antisymétrie $g(\frac{1}{2})=-g(0)$, qui est ce qui force le changement de signe.