Deux polynômes qui coïncident en assez de points

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 5 — Fonctions réelles d'une variable réelle · Polynômes et trinômes

Énoncé

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes de degré au plus $2$ tels que $P (x) = Q (x)$ pour trois valeurs distinctes de $x$ . Montrer que $P = Q$ . En déduire qu'il existe un unique polynôme $R$ de degré au plus $2$ vérifiant $R (0) = 1$ , $R (1) = 3$ et $R (2) = 7$ , puis le déterminer.

Corrigé

Le principe. Posons $D = P - Q$ . C'est un polynôme de degré au plus $2$ (une différence ne peut pas faire monter le degré), et il s'annule aux trois valeurs distinctes où $P$ et $Q$ coïncident.

Or un polynôme non nul de degré au plus $2$ a au plus deux racines : chaque racine $a$ permet de mettre $(x - a)$ en facteur, et le degré décroît d'une unité à chaque fois ; trois factorisations successives donneraient un degré négatif, ce qui est impossible pour un polynôme non nul.

Ayant trois racines, $D$ est donc le polynôme nul, c'est-à-dire $P = Q$ .

L'unicité de $R$ . Si $R_{1}$ et $R_{2}$ conviennent tous deux, ils coïncident en $0$ , $1$ et $2$ , qui sont trois valeurs distinctes : d'après ce qui précède, $R_{1} = R_{2}$ . L'unicité est acquise avant tout calcul.

L'existence, par le calcul. Cherchons $R (x) = a x^{2} + b x + c$ . Les trois conditions donnent $⎩ ⎨ ⎧ c = 1 a + b + c = 3 4 a + 2 b + c = 7$ La première donne $c = 1$ ; il reste $a + b = 2$ et $4 a + 2 b = 6$ , soit $2 a + b = 3$ . En retranchant, $a = 1$ , puis $b = 1$ . D'où $R (x) = x^{2} + x + 1.$

Le point délicat est de séparer les deux questions : l'unicité vient d'un argument sur les racines, l'existence d'un système linéaire. Vérification : $R (0) = 1$ , $R (1) = 3$ , $R (2) = 7$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.