Deux résolutions, deux domaines

La première équation. Le logarithme n'est défini que sur $]0,+\infty [$ : il faut $2x-1>0$, c'est-à-dire $x>\frac{1}{2}$. C'est le domaine, et il se détermine avant toute manipulation.

Sur ce domaine, $\ln$ est injectif et $\ln 1=0$, donc $$\ln (2x-1)=0⟺2x-1=1⟺x=1.$$ La valeur $1$ vérifie bien $1>\frac{1}{2}$ : elle est solution, et c'est la seule.

L'inéquation. Le domaine est $]0,+\infty [$. La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc elle conserve le sens des inégalités, et $1=\ln \mathrm{e}$ : $$\ln x\le 1⟺\ln x\le \ln \mathrm{e}⟺x\le \mathrm{e}.$$

Conclusion. L'ensemble des solutions est $$\left]0,\mathrm{e}\right],$$ la borne $0$ étant exclue par le domaine et la borne $\mathrm{e}$ incluse par l'inégalité large.

L'erreur à éviter. Écrire « $x\le \mathrm{e}$ » sans le domaine donnerait $]-\infty ,\mathrm{e}]$, qui contient $-1$ — pour lequel $\ln x$ n'a aucun sens. Le domaine n'est pas une formalité, il fait partie de la réponse.