Deux suites qui interdisent une limite

L'outil. La caractérisation séquentielle dit que si $f$ admet $\ell$ pour limite en $x_0$, alors $f(u_n)\to \ell$ pour toute suite $(u_n)$ de limite $x_0$. Par contraposée, deux suites de limite $x_0$ dont les images n'ont pas la même limite interdisent l'existence d'une limite. C'est l'usage principal de ce théorème : il sert par la négative.

La suite qui approche par la gauche. Posons $u_n=2-\frac{1}{n}$ pour $n\ge 2$. Alors $\frac{3}{2}\le u_n<2$, donc $1\le u_n<2$ : par définition de la partie entière, $\lfloor u_n\rfloor =1$. La suite $(\lfloor u_n\rfloor )$ est constante égale à $1$, donc de limite $1$, alors que $u_n\to 2$.

La suite qui approche par la droite. Posons $v_n=2+\frac{1}{n}$ pour $n\ge 2$ — et non $n\ge 1$, car $v_1=3$ dont la partie entière vaut $3$. Alors $2<v_n\le \frac{5}{2}<3$, donc $\lfloor v_n\rfloor =2$. Cette suite d'images est constante égale à $2$, donc de limite $2$, alors que $v_n\to 2$ aussi.

Conclusion. Les deux suites tendent vers $2$ et leurs images tendent vers $1$ et vers $2$, qui diffèrent. La fonction partie entière n'a donc pas de limite en $2$. Elle y admet en revanche une limite à gauche, $1$, et une limite à droite, $2$ : c'est un saut.

Le point à retenir. Pour prouver qu'une limite existe on majore ou on encadre ; pour prouver qu'elle n'existe pas, on exhibe deux suites. Une seule suite ne prouverait rien.