Deux valeurs absolues

Fonctions réelles d'une variable réelle · Fonctions usuelles et inégalités · niveau 1 (application)

Énoncé

Résoudre $∣2 x - 5∣ \leq 3$ , puis $∣ x + 1∣ > 4$ .

Corrigé

Première. $∣2 x - 5∣ \leq 3$ signifie que $2 x - 5$ est à distance au plus $3$ de $0$ :

$- 3 \leq 2 x - 5 \leq 3 ⟺ 2 \leq 2 x \leq 8 ⟺ 1 \leq x \leq 4.$

L'ensemble des solutions est $[1, 4]$ — l'intervalle de centre $\frac{5}{2}$ et de rayon $\frac{3}{2}$ , ce qu'on lit aussi directement sur $x - \frac{5}{2} \leq \frac{3}{2}$ .

Seconde. $∣ x + 1∣ > 4$ est une inégalité stricte et renversée : elle se scinde en deux cas,

$x + 1 > 4 ou x + 1 < - 4, soit x > 3 ou x < - 5.$

L'ensemble des solutions est $] - \infty, - 5 [\cup] 3, + \infty [$ .

Le contraste est l'essentiel : un « $\leq$ » donne un intervalle, un « $>$ » donne son complémentaire, donc une réunion de deux morceaux.

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables