Factoriser à partir d'une racine

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 5 — Fonctions réelles d'une variable réelle · Polynômes et trinômes

Énoncé

Factoriser $x^{3} - 3 x + 2$ sachant que $1$ en est racine.

Corrigé

Puisque $1$ est racine, $(x - 1)$ divise le polynôme. La division donne

$x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1) (x^{2} + x - 2) .$

Le second facteur a pour discriminant $1 + 8 = 9$ , donc pour racines $\frac{- 1 \pm 3}{2}$ , c'est-à-dire $1$ et $- 2$ . Finalement

$x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2) .$

Vérification en développant : $(x^{2} - 2 x + 1) (x + 2) = x^{3} - 3 x + 2$ .

La racine $1$ est double — ce que la seule donnée de l'énoncé ne laissait pas prévoir. Graphiquement, la courbe y touche l'axe sans le traverser.

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