Factoriser à partir d'une racine visible

La racine évidente. $P(1)=2-1-1=0$ : le réel $1$ est bien racine.

La factorisation. Le théorème de factorisation dit que si $a$ est racine de $P$, alors $(x-a)$ divise $P$. On cherche donc $P(x)=(x-1)(\alpha x+\beta )$. En développant : $\alpha x^2+(\beta -\alpha )x-\beta$. L'identification des coefficients donne $\alpha =2$ et $-\beta =-1$, donc $\beta =1$ ; le coefficient de $x$ vaut alors $1-2=-1$, ce qui est cohérent. Ainsi $$P(x)=(x-1)(2x+1).$$

L'autre racine. $2x+1=0$ donne $x=-\frac{1}{2}$.

Contrôle par somme et produit. La somme des racines vaut $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, et l'on doit trouver $-\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$ : correct. Le produit vaut $-\frac{1}{2}$, et $\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}$ : correct également.

Le signe. Le coefficient dominant vaut $2>0$ : $P$ est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. En ordonnant $-\frac{1}{2}<1$ : $$P(x)>0\text{ sur }\left]-\infty ,-\frac{1}{2}\right[\cup \left]1,+\infty \right[,P(x)<0\text{ sur }\left]-\frac{1}{2},1\right[.$$ Vérification : $P(0)=-1<0$, ce qui est bien le cas intermédiaire.