La partie entière et son opposée

Les trois valeurs : $\lfloor -2,3\rfloor =-3$ (l'entier inférieur, pas celui de plus petite valeur absolue), $\lfloor 7\rfloor =7$, $\lfloor \pi \rfloor =3$.

La somme. Notons $n=\lfloor x\rfloor$, de sorte que $n\le x<n+1$.

Si $x=n$ est entier, alors $-x=-n$ est entier et $\lfloor -x\rfloor =-n$ : la somme vaut $0$.

Sinon, $n<x<n+1$ donne $-n-1<-x<-n$, donc $\lfloor -x\rfloor =-n-1$ et la somme vaut $n+(-n-1)=-1$.

Ainsi $\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor$ vaut $0$ si $x\in \mathbb{Z}$, et $-1$ sinon. C'est une façon de détecter l'appartenance à $\mathbb{Z}$ par un calcul — la partie entière n'est pas impaire, et son défaut de symétrie porte exactement cette information.