Le signe d'un trinôme sans racine

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 5 — Fonctions réelles d'une variable réelle · Polynômes et trinômes

Énoncé

Déterminer le signe de $- 2 x^{2} + 3 x - 5$ sur $R$ .

Corrigé

Le discriminant vaut

$Δ = 3^{2} - 4 \times (- 2) \times (- 5) = 9 - 40 = - 31 < 0.$

Le trinôme n'a donc aucune racine réelle : il ne change jamais de signe. Ce signe est celui du coefficient dominant $a = - 2$ , donc

$- 2 x^{2} + 3 x - 5 < 0 pour tout x \in R .$

On peut le voir sans discriminant, par forme canonique : $- 2 (x - \frac{3}{4})^{2} - \frac{31}{8}$ , somme d'un terme négatif ou nul et d'une constante strictement négative.

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