Le signe d'un trinôme sans racine

Le discriminant vaut

$$\Delta =3^2-4\times (-2)\times (-5)=9-40=-31<0.$$

Le trinôme n'a donc aucune racine réelle : il ne change jamais de signe. Ce signe est celui du coefficient dominant $a=-2$, donc

$$-2x^2+3x-5<0\text{pour tout }x\in \mathbb{R}.$$

On peut le voir sans discriminant, par forme canonique : $-2{\left(x-\frac{3}{4}\right)}^2-\frac{31}{8}$, somme d'un terme négatif ou nul et d'une constante strictement négative.