$\ln (1+x)\le x$, par l'étude d'une fonction

$f$ est définie et dérivable sur $]-1,+\infty [$, et

$$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}.$$

Sur cet intervalle $1+x>0$, donc $f^{\prime }$ a le signe de $x$ :

• $f^{\prime }<0$ sur $]-1,0[$ : $f$ décroît ;
• $f^{\prime }(0)=0$ ;
• $f^{\prime }>0$ sur $]0,+\infty [$ : $f$ croît.

$f$ atteint donc un minimum global en $0$, et $f(0)=0-\ln 1=0$.

Par conséquent $f(x)\ge 0$ pour tout $x>-1$, c'est-à-dire

$$\ln (1+x)\le x\text{pour tout }x>-1,$$

avec égalité uniquement en $x=0$.

Géométriquement : la courbe de $\ln (1+x)$ reste sous sa tangente en $0$, qui est la droite $y=x$. C'est la traduction de la concavité du logarithme.