Offre, demande et prix d'équilibre

La fonction d'écart. Posons $h(p)=O(p)-D(p)=p^2-20{\mathrm{e}}^{-p/2}$. Un prix d'équilibre est un zéro de $h$. Cette fonction est continue sur $]0,+\infty [$ comme somme d'une fonction polynôme et d'une composée de fonctions continues.

Stricte croissance. $h$ est dérivable et

$$h^{\prime }(p)=2p+10{\mathrm{e}}^{-p/2}>0\text{pour }p>0,$$

les deux termes étant strictement positifs. $h$ est donc strictement croissante.

Les limites aux bornes. En $0^{+}$, $h(p)\to 0-20=-20$ ; en $+\infty$, $p^2\to +\infty$ et $20{\mathrm{e}}^{-p/2}\to 0$, donc $h(p)\to +\infty$.

Le théorème de la bijection s'applique : $h$ réalise une bijection de $]0,+\infty [$ sur $]-20,+\infty [$. Comme $0$ appartient à cet intervalle, l'équation $h(p)=0$ admet une unique solution $p^{\star }>0$.

L'encadrement. $h(2)=4-20{\mathrm{e}}^{-1}\approx 4-7,36=-3,36<0$ et $h(3)=9-20{\mathrm{e}}^{-1,5}\approx 9-4,46=4,54>0$. Par stricte croissance, $2<p^{\star }<3$.

Le régionnement. $h$ étant strictement croissante et nulle en $p^{\star }$, elle est négative avant et positive après : $D>O$ sur $]0,p^{\star }[$ — c'est la pénurie — et $O>D$ au-delà, c'est l'excédent.

Le point à retenir. Comparer deux courbes, c'est étudier le signe de leur différence ; le théorème de la bijection donne l'unicité que le seul théorème des valeurs intermédiaires ne donnerait pas.