Racines et signe d'un trinôme

Les racines. Le discriminant vaut $$\Delta =(-5{)}^2-4\times 1\times 6=25-24=1>0.$$ Il y a donc deux racines réelles distinctes, $$x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2},$$ c'est-à-dire $x_1=2$ et $x_2=3$.

Contrôle. La somme des racines doit valoir $-\frac{b}{a}=5$ et leur produit $\frac{c}{a}=6$. Or $2+3=5$ et $2\times 3=6$ : les racines sont correctes.

La factorisation. $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.

Le signe. Le coefficient dominant vaut $a=1>0$. Un trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre elles. Donc $$x^2-5x+6>0\text{ sur }]-\infty ,2[\cup ]3,+\infty [,x^2-5x+6<0\text{ sur }]2,3[,$$ et le trinôme s'annule en $2$ et en $3$.

Vérification. $x=0$ donne $6>0$ (extérieur), $x=2,5$ donne $6,25-12,5+6=-0,25<0$ (intérieur), $x=4$ donne $16-20+6=2>0$ (extérieur). Le tableau est confirmé.