Somme et produit, et une condition d'existence

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 5 — Fonctions réelles d'une variable réelle · Polynômes et trinômes

Énoncé

Trouver deux réels de somme $7$ et de produit $12$ . Déterminer ensuite, pour $(s, p) \in R^{2}$ donnés, à quelle condition il existe deux réels de somme $s$ et de produit $p$ . Appliquer à $s = 4$ , $p = 5$ .

Corrigé

Le principe. Si deux réels $α$ et $β$ ont pour somme $s$ et pour produit $p$ , alors ils sont racines du trinôme $X^{2} - s X + p,$ puisque $(X - α) (X - β) = X^{2} - (α + β) X + α β$ . Réciproquement, les racines de ce trinôme, quand elles existent, ont pour somme $s$ et pour produit $p$ .

Premier cas. Avec $s = 7$ et $p = 12$ , on résout $X^{2} - 7 X + 12 = 0$ . Le discriminant vaut $49 - 48 = 1 > 0$ , les racines sont $X = \frac{7 \pm 1}{2}$ , soit $3$ et $4$ . Contrôle : $3 + 4 = 7$ et $3 \times 4 = 12$ .

La condition générale. Le trinôme $X^{2} - s X + p$ a des racines réelles si et seulement si son discriminant est positif ou nul : $Δ = s^{2} - 4 p \geq 0.$ La condition cherchée est donc $s^{2} \geq 4 p$ . Elle est nécessaire et suffisante : si elle est vérifiée, les deux racines conviennent (confondues si $s^{2} = 4 p$ ) ; sinon aucun couple de réels ne convient.

Application. Pour $s = 4$ et $p = 5$ : $Δ = 16 - 20 = - 4 < 0$ . Il n'existe aucun couple de réels de somme $4$ et de produit $5$ .

Une lecture directe. Si deux réels ont pour somme $4$ , ils s'écrivent $2 + t$ et $2 - t$ ; leur produit vaut $4 - t^{2} \leq 4$ , donc jamais $5$ . Les deux raisonnements concordent — et la condition $s^{2} \geq 4 p$ dit exactement que le produit ne peut pas dépasser le carré de la demi-somme.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.