Trois équations avec exponentielle et logarithme

Première équation. Les deux membres sont strictement positifs, et le logarithme est strictement croissant : l'équation équivaut à l'égalité des logarithmes. $$x\ln 2=(x-1)\ln 3⟺x(\ln 2-\ln 3)=-\ln 3⟺x=\frac{\ln 3}{\ln 3-\ln 2},$$ la division étant licite car $\ln 3\ne \ln 2$. On peut écrire $x=\frac{\ln 3}{\ln \frac{3}{2}}\approx 2,71$.

La simplification. Attention à écrire la racine comme une puissance : $\sqrt{{\mathrm{e}}^x}={\left({\mathrm{e}}^x\right)}^{1/2}={\mathrm{e}}^{x/2}$. Donc $$\ln \left({\mathrm{e}}^{2x}{\mathrm{e}}^{x/2}\right)=\ln \left({\mathrm{e}}^{2x+x/2}\right)=\frac{5x}{2},$$ et ce pour tout réel $x$.

Troisième équation : le domaine d'abord. Il faut $x>0$ et $x-1>0$, donc $x>1$. C'est le point délicat : le domaine se détermine avant tout calcul, sous peine de fabriquer des solutions qui n'en sont pas.

Sur $]1,+\infty [$, l'équation devient $\ln (x(x-1))=\ln 6$, et le logarithme étant injectif (il est strictement croissant), elle équivaut à $$x(x-1)=6,\text{soit}{x}^2-x-6=0.$$ Le discriminant vaut $1+24=25$, les racines $\frac{1\pm 5}{2}$, c'est-à-dire $3$ et $-2$.

La conclusion. La valeur $-2$ n'appartient pas au domaine et doit être rejetée. L'unique solution est $x=3$. Vérification : $\ln 3+\ln 2=\ln 6$.