Trois limites en $+\infty$

La première tend vers $0$. On a $\ln x\le x$ pour $x\ge 1$, donc $0\le \frac{x^2\ln x}{{\mathrm{e}}^x}\le \frac{x^3}{{\mathrm{e}}^x}$, et l'exponentielle l'emporte sur toute puissance.

La deuxième tend vers $1$. On repasse par l'exponentielle, seule manière licite de traiter une puissance à exposant variable :

$$x^{1/x}=\exp \left(\frac{\ln x}{x}\right)\underset{x\to +\infty }{\to }\exp (0)=1,$$

puisque $\frac{\ln x}{x}\to 0$ et que $\exp$ est continue.

La troisième tend vers $\mathrm{e}$. De même,

$${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=\exp \left(x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right),$$

et $\frac{\ln (1+u)}{u}\to 1$ quand $u\to 0$ — la limite du taux d'accroissement de $\ln$ en $1$ — donne $x\ln (1+\frac{1}{x})\to 1$, d'où la limite $\mathrm{e}$.

Les trois sont des formes indéterminées ($\frac{\infty }{\infty }$, puis ${\infty }^0$, puis $1^{\infty }$) : aucune ne se traite « à vue ».