Trois limites, trois méthodes

Première limite : une croissance comparée. La forme est indéterminée ($x\to 0$ et $\ln x\to -\infty$). Le théorème du cours donne directement $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^a|\ln x{|}^b=0(a>0,b>0),$$ donc, avec $a=b=1$, $x|\ln x|\to 0$ et par conséquent $x\ln x\to 0$. La puissance l'emporte sur le logarithme au voisinage de $0^{+}$.

Deuxième limite : factoriser le terme dominant. Pour $x>0$, $$\ln (x^2+1)=\ln \left(x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\right)=2\ln x+\ln \left(1+\frac{1}{x^2}\right).$$ D'où $$\frac{\ln (x^2+1)}{x}=2\frac{\ln x}{x}+\frac{1}{x}\ln \left(1+\frac{1}{x^2}\right).$$ Le premier terme tend vers $0$ par croissance comparée. Dans le second, $\ln \left(1+\frac{1}{x^2}\right)\to \ln 1=0$ et $\frac{1}{x}\to 0$, donc le produit tend vers $0$. La limite cherchée vaut donc $0$.

Troisième limite : la quantité conjuguée. La forme est « $\frac{0}{0}$ ». Pour $x$ voisin de $0$ et $x\ne 0$, $\sqrt{1+x}+1>0$, donc on peut multiplier haut et bas : $$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{(1+x)-1}{x\left(\sqrt{1+x}+1\right)}=\frac{x}{x\left(\sqrt{1+x}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}.$$ La simplification par $x$ est licite car $x\ne 0$. Quand $x\to 0$, $\sqrt{1+x}\to 1$ par continuité de la racine en $1$, d'où $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}.$$