Un polynôme avec trop de racines

$P$ est le polynôme nul.

En effet, un polynôme non nul de degré $\le 3$ possède au plus $3$ racines. Or $P$ en a quatre : $0$, $1$, $2$ et $3$, deux à deux distinctes. Il ne peut donc pas être non nul.

Autre rédaction, constructive : les quatre racines étant distinctes, le produit $x(x-1)(x-2)(x-3)$, de degré $4$, divise $P$. Si $P$ n'était pas nul, son degré serait au moins $4$ — ce que l'hypothèse $P\in {\mathbb{R}}_3[x]$ interdit.

C'est le principe d'identification des polynômes : deux polynômes de degré $\le n$ qui coïncident en $n+1$ points sont égaux. Il suffit d'appliquer ce qui précède à leur différence.