Un polynôme de degré quatre déguisé

La substitution. Posons $X=x^2$. Alors $P(x)=X^2-5X+4$, un trinôme en $X$. Son discriminant vaut $25-16=9>0$, ses racines $X=\frac{5\pm 3}{2}$, c'est-à-dire $X_1=1$ et $X_2=4$. D'où $$P(x)=(x^2-1)(x^2-4).$$

La factorisation complète. Chaque facteur est une différence de deux carrés : $$P(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2).$$ Les racines de $P$ sont donc $-2$, $-1$, $1$ et $2$ — quatre racines pour un polynôme de degré $4$, c'est le maximum possible.

Le signe. Ordonnons les racines : $-2<-1<1<2$. Le coefficient dominant vaut $1>0$, donc $P(x)>0$ pour $x$ grand. Chaque facteur du premier degré change de signe en sa racine et une seule fois : le signe de $P$ alterne donc à chaque racine franchie. En partant de la droite : $$\begin{array}{cccccccccc}x& -\infty & & -2& & -1& & 1& & 2+\infty \\ P(x)& & +& 0& -& 0& +& 0& -& 0+\end{array}$$

Contrôle par des valeurs. $P(0)=4>0$, ce qui confirme le signe sur $]-1,1[$. $P\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{81}{16}-\frac{45}{4}+4=\frac{81-180+64}{16}=-\frac{35}{16}<0$, ce qui confirme le signe sur $]1,2[$. $P(3)=81-45+4=40>0$.

Conclusion. $P(x)\ge 0$ exactement sur $]-\infty ,-2]\cup [-1,1]\cup [2,+\infty [$, et $P(x)\le 0$ sur $[-2,-1]\cup [1,2]$.