Un trinôme positif quel que soit $x$

Le coefficient dominant vaut $1>0$. D'après le théorème sur le signe d'un trinôme, un trinôme de coefficient dominant positif garde un signe positif sur $\mathbb{R}$ tout entier si et seulement si son discriminant est négatif ou nul : sans racine réelle (ou avec une racine double), il ne peut pas changer de signe.

Le discriminant.

$$\Delta =(-2m{)}^2-4\times 1\times (m+2)=4m^2-4m-8=4(m^2-m-2).$$

Le trinôme $m^2-m-2$ a pour racines $-1$ et $2$ : leur somme vaut $1$ et leur produit $-2$, ce qui est bien $-\frac{b}{a}$ et $\frac{c}{a}$. Son coefficient dominant étant positif, il est négatif entre ses racines. Donc

$$\Delta \le 0⟺m^2-m-2\le 0⟺m\in [-1,2].$$

Conclusion. L'inégalité $x^2-2mx+m+2\ge 0$ vaut pour tout $x$ réel exactement lorsque $m\in [-1,2]$.

Le cas $m=2$. Alors $\Delta =0$ : le trinôme $x^2-4x+4$ a une racine double, et $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$. La somme des racines vaut $-\frac{b}{a}=4$ et leur produit $\frac{c}{a}=4$, ce que confirme le comptage de la racine $2$ deux fois : $2+2=4$ et $2\times 2=4$.

Le point à retenir. Une question de signe sur $\mathbb{R}$ tout entier se ramène toujours au discriminant, et une question sur le discriminant est elle-même une question de signe de trinôme : on résout un trinôme en $m$ pour conclure sur un trinôme en $x$.