Une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-1,1[$

Une écriture commode. Le dénominateur ${\mathrm{e}}^x+1$ est toujours $>1$, donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, et $$f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x+1-2}{{\mathrm{e}}^x+1}=1-\frac{2}{{\mathrm{e}}^x+1}.$$ Cette forme isole $x$ en un seul endroit, ce qui simplifie tout ce qui suit.

Stricte croissance. Si $x<y$, alors ${\mathrm{e}}^x<{\mathrm{e}}^y$, donc $0<{\mathrm{e}}^x+1<{\mathrm{e}}^y+1$. Le passage à l'inverse renverse l'inégalité, puis la soustraction à $1$ la renverse de nouveau : $f(x)<f(y)$.

Les limites. Quand $x\to -\infty$, ${\mathrm{e}}^x\to 0$ et $f(x)\to 1-2=-1$ ; quand $x\to +\infty$, $\frac{2}{{\mathrm{e}}^x+1}\to 0$ et $f(x)\to 1$.

La bijection. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et strictement croissante : d'après le théorème de la bijection, elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $f(\mathbb{R})=]-1,1[$. Les bornes ne sont pas atteintes, car $f(x)=1$ exigerait $\frac{2}{{\mathrm{e}}^x+1}=0$.

La réciproque. Pour $y\in ]-1,1[$ : $$\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{{\mathrm{e}}^x+1}=y⟺{\mathrm{e}}^x(1-y)=1+y⟺{\mathrm{e}}^x=\frac{1+y}{1-y},$$ la division par $1-y$ étant licite puisque $y<1$, et le quotient étant strictement positif puisque $-1<y<1$. D'où $$f^{-1}(y)=\ln \left(\frac{1+y}{1-y}\right).$$ Contrôle : $f(\ln 3)=\frac{3-1}{3+1}=\frac{1}{2}$ et $f^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\ln 3$.