Une bijection, et une racine encadrée

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+1>0$ : elle est strictement croissante, donc injective. Elle est continue, et

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0+(-\infty )=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty .$$

Par le théorème de la bijection, $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-\infty ,+\infty [=\mathbb{R}$. En particulier l'équation $f(x)=3$ a une unique solution.

Encadrement. $f(0)=1<3$ et $f(1)=\mathrm{e}+1\approx 3,72>3$. La stricte croissance donne donc

$$0<x_0<1.$$

(En affinant : $f(0,7)\approx 2,71$ et $f(0,8)\approx 3,03$, donc $x_0\approx 0,79$.)

On notera ce qui sert à quoi : la stricte monotonie donne l'unicité, la continuité et les limites donnent l'existence. Retirer l'une des deux et la conclusion tombe.