Une équation avec un logarithme, une seule solution

Où chercher. Posons $g(x)=x\ln x$ sur $]0,+\infty [$. Pour $0<x<1$ on a $\ln x<0$ et $x>0$, donc $g(x)<0<1$ ; et $g(1)=0\ne 1$. Toute solution est donc dans $]1,+\infty [$, et il suffit d'étudier $g$ sur $[1,+\infty [$.

Stricte croissance sur $[1,+\infty [$. Soient $1\le x<y$. Alors $0\le \ln x<\ln y$ et $0<x<y$, donc $$g(x)=x\ln x\le x\ln y<y\ln y=g(y),$$ la première inégalité multipliant $\ln x\le \ln y$ par $x>0$, la seconde multipliant $x<y$ par $\ln y>0$. Donc $g$ est strictement croissante.

Continuité et image. $g$ est continue sur $[1,+\infty [$ comme produit de fonctions continues. On a $g(1)=0$, et $g(x)\to +\infty$ quand $x\to +\infty$ (produit de deux facteurs tendant vers $+\infty$). D'après le théorème de la bijection, $g$ réalise une bijection de $[1,+\infty [$ sur $[0,+\infty [$.

Conclusion. Comme $1\in [0,+\infty [$, l'équation $g(x)=1$ admet une solution et une seule sur $[1,+\infty [$, donc sur $]0,+\infty [$ d'après le premier paragraphe. Notons-la $\alpha$.

L'encadrement. On calcule : $$g(1,7)=1,7\times \ln 1,7\approx 1,7\times 0,5306\approx 0,902<1,$$ $$g(1,8)=1,8\times \ln 1,8\approx 1,8\times 0,5878\approx 1,058>1.$$ La fonction étant strictement croissante, $$1,7<\alpha <1,8.$$