Une équation qui se ramène à un trinôme

Le changement d'inconnue. Posons $X={\mathrm{e}}^x$. Comme ${\mathrm{e}}^{2x}={\left({\mathrm{e}}^x\right)}^2=X^2$, l'équation devient $$X^2-3X+2=0.$$ Attention à une contrainte essentielle : $X={\mathrm{e}}^x$ est strictement positif, quelle que soit la valeur de $x$. Toute racine négative ou nulle devra donc être rejetée.

Le trinôme. Son discriminant vaut $9-8=1>0$, ses racines $X=\frac{3\pm 1}{2}$, c'est-à-dire $X_1=1$ et $X_2=2$. Les deux sont strictement positives : aucune n'est à rejeter ici.

Retour à $x$. L'exponentielle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]0,+\infty [$, de réciproque le logarithme. Donc $${\mathrm{e}}^x=1⟺x=\ln 1=0,{\mathrm{e}}^x=2⟺x=\ln 2.$$

Conclusion. L'ensemble des solutions est $\{0,\ln 2\}$.

Vérification. Pour $x=\ln 2$ : ${\mathrm{e}}^{2x}=4$ et ${\mathrm{e}}^x=2$, d'où $4-6+2=0$. Pour $x=0$ : $1-3+2=0$.

Le geste à retenir. Une équation où l'inconnue n'apparaît que par ${\mathrm{e}}^x$ se ramène à une équation algébrique — à condition de ne jamais oublier la contrainte $X>0$, qui élimine parfois une racine.