Une fonction qui laisse un point en place

La fonction auxiliaire. Posons $g(x)=f(x)-x$ pour $x\in [0,1]$. Elle est continue sur $[0,1]$, comme différence de deux fonctions continues. Chercher un point fixe de $f$, c'est chercher un zéro de $g$.

Les valeurs aux bornes. L'hypothèse « $f$ est à valeurs dans $[0,1]$ » donne $0\le f(x)\le 1$ pour tout $x$. En particulier : $$g(0)=f(0)-0=f(0)\ge 0,g(1)=f(1)-1\le 0.$$

Deux cas immédiats. Si $g(0)=0$, alors $c=0$ convient. Si $g(1)=0$, alors $c=1$ convient.

Le cas général. Sinon $g(0)>0$ et $g(1)<0$. La fonction $g$ est continue sur $[0,1]$ et prend deux valeurs de signes contraires : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle prend toutes les valeurs comprises entre $g(1)$ et $g(0)$, donc en particulier la valeur $0$. Il existe $c\in ]0,1[$ tel que $g(c)=0$, c'est-à-dire $f(c)=c$.

Dans tous les cas, $f$ admet un point fixe dans $[0,1]$.

Sur l'intervalle ouvert : non. Prenons $$f:]0,1[\to ]0,1[,f(x)=\frac{1+x}{2},$$ continue et bien à valeurs dans $]0,1[$. L'équation $f(x)=x$ donnerait $x=1$, qui n'y appartient pas : aucun point fixe. Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique sur un segment — sur $]0,1[$, $g$ n'a de valeur ni en $0$ ni en $1$, et les deux inégalités qui portaient la démonstration n'ont plus de sens.