Une limite à l'infini, deux limites en un point

La limite à l'infini. Numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : c'est une forme indéterminée. On factorise par le terme dominant, $x^2$, en haut et en bas — ce qui est licite pour $x\ne 0$ : $$\frac{2x^2+1}{x^2-3}=\frac{x^2\left(2+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{3}{x^2}\right)}=\frac{2+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{3}{x^2}}.$$ Quand $x\to +\infty$, $\frac{1}{x^2}\to 0$, donc le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $1$. Par quotient de limites, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+1}{x^2-3}=2.$$

Les limites en $2$. Le numérateur vaut $1$, constant et strictement positif ; tout dépend du signe du dénominateur, qui s'annule en $2$.

À droite : si $x>2$, alors $x-2>0$ et $x-2\to 0$. Le quotient $\frac{1}{x-2}$ est donc positif et croît sans borne : $$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x-2}=+\infty .$$

À gauche : si $x<2$, alors $x-2<0$ et $x-2\to 0$. Le quotient est négatif, de valeur absolue arbitrairement grande : $$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{1}{x-2}=-\infty .$$

Conclusion. Les deux limites à gauche et à droite sont différentes : la fonction n'a pas de limite en $2$. C'est pourquoi on précise toujours le côté par lequel on approche quand le dénominateur s'annule.