mathématiques appliquées (ECG 1re année) · Chapitre 5 · Exercice d'entraînement

Une limite avec une partie entière

Fonctions réelles d'une variable réelle · Limites et croissances comparées · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pour $x > 0$ , on pose $f (x) = x ⌊ \frac{1}{x} ⌋$ . Encadrer $f (x)$ et en déduire $x \to 0^{+} lim f (x)$ . La fonction $⌊ \frac{1}{x} ⌋$ a-t-elle une limite en $0^{+}$ ?

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Élève

Je ne sais pas comment traiter $⌊ \frac{1}{x} ⌋$ quand $x \to 0^{+}$ : la partie entière n'est pas continue, je ne peux ni la dériver ni lui appliquer un équivalent usuel. Par où commencer ?

L'énoncé te guide : il demande d'encadrer. Laisse $x$ de côté un instant et prends un réel $t$ quelconque : que dit la définition de $⌊ t ⌋$ sur sa position par rapport à $t$ ?

Élève

C'est le plus grand entier inférieur ou égal à $t$ : il ne dépasse pas $t$ , et l'entier suivant dépasse strictement $t$ . Je dois l'écrire avec $t = \frac{1}{x}$ , j'imagine.

Oui. Une fois cette double inégalité écrite pour $t = \frac{1}{x}$ , il faut passer à $f (x)$ : par quoi multiplies-tu ses trois membres, et qu'est-ce qui te garantit que le sens des inégalités est conservé ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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