Une limite avec une partie entière

L'encadrement de la partie entière. Par définition, pour tout réel $t$, $\lfloor t\rfloor$ est l'unique entier vérifiant $$\lfloor t\rfloor \le t<\lfloor t\rfloor +1,$$ ce qui se réécrit $$t-1<\lfloor t\rfloor \le t.$$

Application à $t=\frac{1}{x}$. Pour $x>0$ : $$\frac{1}{x}-1<\lfloor \frac{1}{x}\rfloor \le \frac{1}{x}.$$ Multiplions les trois membres par $x$, strictement positif, ce qui conserve le sens des inégalités : $$1-x<x\lfloor \frac{1}{x}\rfloor \le 1.$$ C'est l'encadrement cherché : $1-x<f(x)\le 1$.

La limite. Quand $x\to 0^{+}$, $1-x\to 1$ et la borne de droite est constante égale à $1$. Le théorème d'encadrement donne $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1.$$

La seconde question : non. La fonction $x\mapsto \lfloor \frac{1}{x}\rfloor$ n'a pas de limite finie en $0^{+}$, et elle tend même vers $+\infty$ : d'après l'encadrement $\frac{1}{x}-1<\lfloor \frac{1}{x}\rfloor$, et $\frac{1}{x}-1\to +\infty$.

Ce que l'exercice montre. Le produit $x\lfloor \frac{1}{x}\rfloor$ est de la forme « $0\times \infty$ », et sa limite vaut $1$ — ni $0$, ni $+\infty$. Il ne suffit donc jamais de regarder les facteurs séparément : c'est l'encadrement de la partie entière, qui coince $\lfloor t\rfloor$ à moins de $1$ de $t$, qui fait tout le travail.