Une racine, par le théorème des valeurs intermédiaires

La fonction. Posons $f(x)=x^5+x-3$. Elle est continue sur $[1,2]$ : c'est un polynôme, et les fonctions polynomiales sont continues sur $\mathbb{R}$.

Les valeurs aux bornes. $$f(1)=1+1-3=-1<0,f(2)=32+2-3=31>0.$$

Le théorème des valeurs intermédiaires. $f$ est continue sur le segment $[1,2]$ et prend deux valeurs de signes contraires. Elle prend donc toutes les valeurs comprises entre $-1$ et $31$, en particulier $0$ : il existe $c\in ]1,2[$ tel que $f(c)=0$.

L'unicité. Oui, on peut l'affirmer, mais le théorème des valeurs intermédiaires ne suffit pas : il donne l'existence, jamais l'unicité. Il faut un argument de monotonie. Or $x\mapsto x^5$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et $x\mapsto x-3$ aussi : leur somme $f$ est strictement croissante. Une fonction strictement croissante prend chaque valeur au plus une fois, donc la solution est unique — et elle l'est même sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Un encadrement. $f(1,1)=1,61+1,1-3=-0,29<0$ et $f(1,2)=2,49+1,2-3=0,69>0$ : la solution est entre $1,1$ et $1,2$.

À retenir. Existence par le théorème des valeurs intermédiaires, unicité par la stricte monotonie : ce sont deux arguments distincts, et il faut les deux.