Valeur absolue et partie entière

Les valeurs. $|-3|=3$ : la valeur absolue rend positif.

$\lfloor -1,5\rfloor =-2$ : la partie entière est le plus grand entier inférieur ou égal au nombre. C'est le piège classique — on descend, on n'arrondit pas : $-1$ serait supérieur à $-1,5$, donc il ne convient pas.

$\lfloor 3,9\rfloor =3$ : ici aussi on descend, l'arrondi donnerait $4$.

L'équation $\lfloor x\rfloor =2$. Par définition, $\lfloor x\rfloor =2$ signifie $2\le x<3$. L'ensemble des solutions est donc l'intervalle $$[2,3[,$$ fermé à gauche et ouvert à droite : $3$ a pour partie entière $3$, pas $2$.

L'inéquation $|x-4|<1$. La valeur absolue $|x-4|$ est la distance de $x$ à $4$. L'inéquation dit que cette distance est strictement inférieure à $1$, donc $$-1<x-4<1⟺3<x<5.$$ L'ensemble des solutions est $]3,5[$.

La règle générale. Pour $r>0$, $|u|<r$ équivaut à $-r<u<r$ ; et $|u|>r$ équivaut à $u<-r$ ou $u>r$. Le premier cas donne un intervalle, le second une réunion de deux intervalles.