mathématiques appliquées (ECG 1re année) · Chapitre 6 · Exercice d'entraînement

Choisir dans deux réserves à la fois

Probabilités et statistiques · Dénombrement et coefficients binomiaux · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $m$, $n$ et $p$ des entiers naturels avec $p\le m+n$. Démontrer, par un double comptage, que $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{p}\right)=\sum _{k=0}^p\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p-k}\right),$$ avec la convention $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}\right)=0$ dès que $b>a$. En déduire la valeur de ${\sum }_{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^2$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.