Choisir dans deux réserves à la fois

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 6 — Probabilités et statistiques · Dénombrement et coefficients binomiaux

Énoncé

Soient $m$ , $n$ et $p$ des entiers naturels avec $p \leq m + n$ . Démontrer, par un double comptage, que $(p m + n) = k = 0 \sum p (k m) (p - k n),$ avec la convention $(b a) = 0$ dès que $b > a$ . En déduire la valeur de $\sum_{k = 0}^{n} (k n)^{2}$ .

Corrigé

Le cadre. Considérons $m + n$ personnes, $m$ hommes et $n$ femmes, et comptons de deux façons les délégations de $p$ personnes.

Premier comptage. Une délégation est une partie à $p$ éléments d'un ensemble à $m + n$ éléments : il y en a $(p m + n)$ .

Second comptage, en classant par le nombre d'hommes. Notons $k$ le nombre d'hommes de la délégation. Cet entier vérifie $0 \leq k \leq p$ , et les valeurs possibles de $k$ découpent l'ensemble des délégations en paquets deux à deux disjoints dont la réunion est l'ensemble entier : on peut donc sommer les effectifs.

Pour un $k$ fixé, on choisit les $k$ hommes parmi $m$ ( $(k m)$ façons), puis les $p - k$ femmes parmi $n$ ( $(p - k n)$ façons) : les deux choix étant indépendants, il y a $(k m) (p - k n)$ telles délégations.

La convention. Si $k > m$ , il n'existe aucune façon de choisir $k$ hommes parmi $m$ : le terme doit être nul, et c'est ce que dit la convention $(b a) = 0$ pour $b > a$ . Même chose si $p - k > n$ .

Conclusion. Les deux comptages donnent $(p m + n) = k = 0 \sum p (k m) (p - k n) .$

Application. Prenons $m = n = p$ . Alors $(n 2 n) = k = 0 \sum n (k n) (n - k n) = k = 0 \sum n (k n)^{2},$ la dernière égalité venant de la symétrie $(n - k n) = (k n)$ . Donc $k = 0 \sum n (k n)^{2} = (n 2 n) .$

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.