Cinq lancers d'un dé

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 6 — Probabilités et statistiques · Calculer une probabilité

Énoncé

On lance cinq fois un dé équilibré à six faces et l'on note les résultats dans l'ordre. Calculer la probabilité que les cinq résultats soient deux à deux distincts, puis que le plus grand résultat obtenu soit inférieur ou égal à $4$ , et enfin qu'il soit exactement égal à $4$ .

Corrigé

L'univers. Une issue est une liste ordonnée de cinq résultats, chacun dans ${1, \dots, 6}$ : $Ω$ a $6^{5} = 7776$ éléments. Le dé étant équilibré et les lancers menés dans les mêmes conditions, on est en situation d'équiprobabilité : chaque probabilité se calcule comme un quotient de cardinaux.

Cinq résultats distincts. On construit une telle liste position par position : $6$ choix pour la première, $5$ pour la deuxième (tous sauf le premier), puis $4$ , $3$ , $2$ . Il y en a donc $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$ , d'où $P = \frac{720}{7776} = \frac{5}{54} \approx 0, 093.$

Le maximum au plus $4$ . Dire que le plus grand résultat est $\leq 4$ , c'est dire que chaque lancer donne un résultat dans ${1, 2, 3, 4}$ — c'est là le point à voir, et il transforme une condition sur un maximum en une condition sur chaque tirage. Il y a $4$ choix par position, donc $4^{5} = 1024$ listes : $P = \frac{1024}{7776} \approx 0, 132.$

Le maximum exactement $4$ . L'événement « maximum $\leq 4$ » se partage en « maximum $\leq 3$ » et « maximum exactement $4$ », qui sont incompatibles. Donc $P (max = 4) = P (max \leq 4) - P (max \leq 3) = \frac{4 ^{5} - 3 ^{5}}{6 ^{5}} = \frac{1024 - 243}{7776} = \frac{781}{7776} \approx 0, 100.$

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.