Combien de lancers pour un six ?

Les lancers étant indépendants, la probabilité de n'obtenir aucun six en $n$ lancers vaut ${\left(\frac{5}{6}\right)}^n$. On cherche donc $n$ tel que

$$1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n>0,9⟺{\left(\frac{5}{6}\right)}^n<0,1.$$

En passant au logarithme, et en renversant l'inégalité car $\ln \frac{5}{6}<0$ :

$$n\ln \frac{5}{6}<\ln 0,1⟺n>\frac{\ln 0,1}{\ln (5/6)}\approx \frac{-2,3026}{-0,1823}\approx 12,63.$$

Il faut donc $n=13$ lancers : à $12$ lancers la probabilité vaut $0,888$, à $13$ elle vaut $0,907$.

Le renversement de l'inégalité est le piège de l'exercice : diviser par un logarithme négatif change le sens. Et l'on remarquera qu'il faut bien plus que six lancers pour « avoir de bonnes chances » — l'intuition qui dit « une chance sur six, donc six lancers » donne seulement $0,665$.