Conditionner dans un tableau

Les effectifs. Rangeons-les :

	espagnol	autre	total
filles	$12$	$6$	$18$
garçons	$3$	$9$	$12$
total	$15$	$15$	$30$

Notons $F$ l'événement « c'est une fille » et $E$ « l'élève fait de l'espagnol ». Le choix étant au hasard parmi $30$ élèves, on est en équiprobabilité : $P(F)=\frac{18}{30}$, $P(E)=\frac{15}{30}$ et $P(F\cap E)=\frac{12}{30}$.

Espagnol sachant fille. $$P(E\mid F)=\frac{P(E\cap F)}{P(F)}=\frac{12/30}{18/30}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\approx 0,67.$$ On peut le lire directement dans le tableau : parmi les $18$ filles, $12$ font de l'espagnol.

Fille sachant espagnol. $$P(F\mid E)=\frac{P(F\cap E)}{P(E)}=\frac{12/30}{15/30}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}=0,80.$$ Là encore, la lecture directe donne le même résultat : parmi les $15$ hispanisants, $12$ sont des filles.

Le point essentiel. Les deux nombres sont différents : $\frac{2}{3}\ne \frac{4}{5}$. Conditionner n'est pas une opération symétrique — la probabilité qu'un hispanisant soit une fille n'est pas la probabilité qu'une fille soit hispanisante. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente en probabilités conditionnelles, et c'est précisément ce que la formule de Bayes sert à corriger : elle relie l'une à l'autre en tenant compte des effectifs $P(F)$ et $P(E)$.