D'un tableau d'effectifs à la moyenne

L'effectif total. $n=5+8+4+3=20$.

Les fréquences. Chaque fréquence est $f_k=\frac{n_k}{n}$ : $$f_0=\frac{5}{20}=0,25,f_1=\frac{8}{20}=0,40,f_2=\frac{4}{20}=0,20,f_3=\frac{3}{20}=0,15.$$

Contrôle. Leur somme doit valoir $1$ : $0,25+0,40+0,20+0,15=1,00$. Ce contrôle prend une seconde et détecte une erreur de recopie.

La moyenne. Avec un tableau d'effectifs, on ne réécrit pas les $20$ observations : chaque valeur est comptée autant de fois que son effectif. $$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _k{n}_k{v}_k=\frac{5\times 0+8\times 1+4\times 2+3\times 3}{20}=\frac{0+8+8+9}{20}=\frac{25}{20}=1,25.$$

On peut aussi passer par les fréquences, ce qui revient au même : $$\bar{x}=\sum _k{f}_k{v}_k=0+0,40+0,40+0,45=1,25.$$

Une remarque. La moyenne vaut $1,25$ alors qu'aucune observation ne prend cette valeur : une moyenne n'est pas une valeur observée, c'est un point d'équilibre. La médiane, elle, vaut ici $1$ — la dixième et la onzième valeur triées sont toutes deux égales à $1$.