De quelle usine vient la pièce ?

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 6 — Probabilités et statistiques · Probabilités conditionnelles et formule de Bayes

Énoncé

Deux usines produisent respectivement $60 %$ et $40 %$ des pièces, avec $2 %$ et $5 %$ de défauts. Une pièce tirée au hasard est défectueuse : de quelle usine vient-elle le plus probablement ?

Corrigé

Notons $U_{1}, U_{2}$ l'usine d'origine et $D$ « la pièce est défectueuse ». Les données sont $P (U_{1}) = 0, 6$ , $P (U_{2}) = 0, 4$ , $P_{U_{1}} (D) = 0, 02$ , $P_{U_{2}} (D) = 0, 05$ .

Probabilités totales :

$P (D) = 0, 6 \times 0, 02 + 0, 4 \times 0, 05 = 0, 012 + 0, 020 = 0, 032.$

Formule de Bayes :

$P_{D} (U_{1}) = \frac{0 , 012}{0 , 032} = 0, 375, P_{D} (U_{2}) = \frac{0 , 020}{0 , 032} = 0, 625.$

La pièce vient donc le plus probablement de l'usine 2, avec près de deux chances sur trois — alors que cette usine ne produit que $40 %$ du total.

C'est tout l'intérêt du renversement : l'usine $2$ produit moins, mais son taux de défaut est deux fois et demie plus élevé, et ce second facteur l'emporte. La probabilité a priori ( $0, 4$ ) est corrigée par l'observation en une probabilité a posteriori ( $0, 625$ ).

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