Deux à deux, mais pas mutuellement

Chacun des trois événements compte deux issues sur quatre : $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$.

Deux à deux. Les intersections deux à deux valent toutes $\{1\}$ :

$$P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}.$$

Les trois couples vérifient donc la relation d'indépendance.

Mutuellement, non. L'indépendance mutuelle exigerait en outre

$$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)=\frac{1}{8}.$$

Or $A\cap B\cap C=\{1\}$, de probabilité $\frac{1}{4}\ne \frac{1}{8}$.

Les trois événements ne sont donc pas mutuellement indépendants.

Ce que cela veut dire. Connaître un seul des trois ne renseigne pas sur un autre ; mais en connaître deux détermine le troisième — si $A$ et $B$ sont réalisés, l'issue est $1$, donc $C$ l'est aussi, avec certitude. L'indépendance deux à deux ne se propage pas : la définition mutuelle réclame une égalité pour chaque sous-famille, et cet exemple montre qu'aucune n'est superflue.