Deux pièces, et « au moins un pile »

L'univers. Les pièces étant discernables, une issue est un couple : $$\Omega =\{(P,P),(P,F),(F,P),(F,F)\},$$ soit $4$ issues, équiprobables de probabilité $\frac{1}{4}$ chacune. Il est essentiel de distinguer $(P,F)$ de $(F,P)$ : les regrouper donnerait trois issues qui ne seraient pas équiprobables, et tous les calculs seraient faux.

Au moins un pile. L'événement contraire est « aucun pile », c'est-à-dire l'unique issue $(F,F)$. Passer au complémentaire évite d'énumérer les trois autres cas : $$P(\text{au moins un pile})=1-P((F,F))=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.$$

Exactement un pile. L'événement est $\{(P,F),(F,P)\}$, de cardinal $2$ : $$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

Contrôle. Les trois événements « zéro pile », « exactement un pile », « deux piles » forment un système complet, et leurs probabilités valent $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, de somme $1$. De plus $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ redonne bien « au moins un pile ».

Le réflexe à retenir. Devant « au moins un », on passe presque toujours au complémentaire : le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès », un seul cas au lieu de plusieurs.