Divisible par 2, par 3 ou par 5

Le modèle. « Au hasard » traduit ici l'équiprobabilité sur $\Omega =\{1,\dots ,100\}$, donc $P(A)=\frac{\mathrm{card}A}{100}$ pour tout événement $A$.

Notons $A$, $B$, $C$ les événements « divisible par $2$ », « par $3$ », « par $5$ ». Le nombre de multiples de $d$ dans $\{1,\dots ,100\}$ est $\lfloor \frac{100}{d}\rfloor$.

Les cardinaux. Un entier est dans $A\cap B$ s'il est divisible par $2$ et par $3$, donc par $6$ — et de même pour les autres intersections :

$$\mathrm{card}A=50,\mathrm{card}B=33,\mathrm{card}C=20,$$

$$\mathrm{card}(A\cap B)=\lfloor \frac{100}{6}\rfloor =16,\mathrm{card}(A\cap C)=10,\mathrm{card}(B\cap C)=\lfloor \frac{100}{15}\rfloor =6,$$

et $\mathrm{card}(A\cap B\cap C)=\lfloor \frac{100}{30}\rfloor =3$.

Le crible. La formule à trois événements donne

$$\mathrm{card}(A\cup B\cup C)=50+33+20-16-10-6+3=74,$$

d'où $P(A\cup B\cup C)=\frac{74}{100}=0,74$.

Le point délicat. On ne peut pas ajouter $50$, $33$ et $20$ : les multiples de $6$ ont été comptés dans $A$ et dans $B$. Quant aux multiples de $30$, ils ont été ajoutés trois fois puis retirés trois fois : ils ne sont donc plus comptés du tout, et il faut les remettre une fois — d'où le $+3$.

Le point à retenir. Le crible corrige les doubles comptages, puis corrige la correction. En équiprobabilité, tout se ramène à compter.