Effet d'un changement d'unité

La moyenne suit la transformation affine : $\bar{y}=\frac{1}{n}\sum (a{x}_i+b)=a\bar{x}+b$.

Donc $y_i-\bar{y}=a(x_i-\bar{x})$, et

$$s_y^2=\frac{1}{n}\sum (y_i-\bar{y}{)}^2=\frac{1}{n}\sum a^2(x_i-\bar{x}{)}^2=a^2{s}_x^2.$$

En prenant la racine carrée, et puisqu'un écart-type est positif :

$$s_y=\sqrt{a^2}{s}_x=|a|s_x.$$

La valeur absolue n'est pas un détail : $\sqrt{a^2}=|a|$ et non $a$. Une transformation de coefficient $-3$ multiplie l'écart-type par $3$, pas par $-3$ — une dispersion ne peut pas être négative.

Lecture : la translation $b$ ne change rien à la dispersion (tout le monde se décale pareil), seule la dilatation $a$ agit. Passer de degrés Celsius à Fahrenheit ($a=1,8$) multiplie l'écart-type par $1,8$.