Indépendance : deux sommes, un même dé

L'univers compte $36$ issues équiprobables. Notons $B$ « le premier dé donne $3$ », de probabilité $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Avec $A$ = « somme $7$ ». Les issues favorables à $A$ sont les six couples $(1,6),\dots ,(6,1)$, donc $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$. L'intersection est le seul couple $(3,4)$, donc $P(A\cap B)=\frac{1}{36}$. Or

$$P(A)P(B)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}=P(A\cap B):$$

les deux événements sont indépendants.

Avec $A^{\prime }$ = « somme $6$ ». Cette fois $A^{\prime }$ compte cinq issues ($(1,5),\dots ,(5,1)$), donc $P(A^{\prime })=\frac{5}{36}$. L'intersection est $(3,3)$, de probabilité $\frac{1}{36}$. Mais

$$P(A^{\prime })P(B)=\frac{5}{36}\times \frac{1}{6}=\frac{5}{216}\ne \frac{1}{36}=\frac{6}{216}:$$

ils ne sont pas indépendants.

La différence tient à ce que $7$ est la seule somme atteignable pour chaque valeur du premier dé : connaître ce dé ne change rien. Pour la somme $6$, apprendre que le premier dé vaut $3$ modifie les chances. L'indépendance n'est pas une propriété de l'expérience, c'est une propriété du couple d'événements.